Matrix Power Series

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Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 40 11 1

Sample Output

1 22 3

Source

, Huang, Jinsong

解题思路：

第一种方法：

题意为给定矩阵A（以下代码中用ori表示)。以及k, mod ,求 A+A^2+A^3+......A^k    的和对mod取余。

一開始用循环k次，递推的做法，超时。

。。

看了解题报告，求和的时候要用到二分求和。

所求的和用s(k)表示。

当k为偶数时：

比方 k=6,那么  A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=    A+A^2+A^3+   A^3*（A+A^2+A^3）   

s(k)=s(k/2)+A^(n/2) * s(k/2) 即s(k)=(E+A^(n/2))*s(n/2)  （E为单位矩阵）

当k为奇数时：

s(k)=s(k-1)+A^k ,  那么k-1为偶数。能够依照上面的二分

PS：代码要写细致啊，否则一个小错误查半天.....计算两个矩阵相乘时ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j]; 居然写成了ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*a.arr[k][j]; T T

代码：

#include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        using namespace std;const int maxn=31;int n,k,mod;struct mat{    int arr[maxn][maxn];    mat()    {        memset(arr,0,sizeof(arr));    }};mat mul(mat a,mat b){    mat ret;    for(int i=0;i
        
         =mod)                ret.arr[i][j]%=mod;        }    }    return ret;}mat add(mat a,mat b){    mat an;    for(int i=0;i
         
          =mod)                an.arr[i][j]%=mod;        }    return an;}mat power(mat p,int k){    if(k==1) return p;    mat e;    for(int i=0;i
          
           >=1; } return e;}void output(mat ans){ for(int i=0;i
           
            >1)),cal(ori,k>>1)); //当K为偶数时,S(K)=(1+ori^(K/2))*S(K/2)}int main(){ while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF) { mat ori,ans; for(int i=0;i
            
             =mod) ori.arr[i][j]%=mod; } ans=cal(ori,k); output(ans); } return 0;}
            
           
          
         
        
       
      
     

另外一种方法：

解题思路转载自：http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/05/28/3103336.html

分析：求a^1+..a^n这是矩阵乘法中关于等比矩阵的求法：

|A  E|

|0  E|

当中的A为m阶矩阵。E是单位矩阵，0是零矩阵。而我们要求的是：                                                                             

A^1+A^2+..A^L。由等比矩阵的性质

|A  ,  1|                 |A^n , 1+A^1+A^2+....+A^(n-1)|

|0  ,  1| 的n次方等于|0     ,                   1                   |

所以我们仅仅须要将A矩阵扩大四倍，变成如上形式的矩阵B。然后开L+1次方就能够得到1+A^1+A^2+....+A^L。

因为多了一个1。所以最后得到的答案我们还要减去1。

同理我们把矩阵A变成B：

                                                          |A  E|

                                                          |0  E|

然后我们就是求B的n+1次幂之后得到的矩阵为|x1   x2|

                                                          |x3   x4|

右上角的矩阵x2减去单位矩阵E，得到就是要求的矩阵了。

#include 
     
      #include 
      
       using namespace std;const int maxn=62;int n,k,mod;struct mat{    int arr[maxn][maxn];    mat()    {        memset(arr,0,sizeof(arr));    }};mat mul(mat a,mat b){    mat ans;    for(int i=0;i
       
        =mod)                ans.arr[i][j]%=mod;        }    }    return ans;}mat power(mat p,int k){    if(k==1) return p;    mat e;    for(int i=0;i
        
         >=1;    }    return e;}void output(mat ans){    for(int i=0;i
         
          >n>>k>>mod)    {        mat ori,ans;        for(int i=0;i
          
           >ori.arr[i][j]; if(i==j) { ori.arr[i][j+n]=1; ori.arr[i+n][j+n]=1; } } n*=2; ans=power(ori,k+1); n/=2; output(ans); } return 0;}